Cho đường tròn tâm o bán kính r

  -  
Câu hỏi:

Cho mặt đường tròn chổ chính giữa O, bán kính R. Từ một điểm M sinh hoạt đi ngoài đường tròn, kẻ nhì tiếp đường MA và MB với mặt đường tròn (A, B là những tiếp điểm). Qua A, kẻ con đường trực tiếp tuy vậy tuy nhiên cùng với MO giảm mặt đường tròn tại E (E khác A), mặt đường thẳng ME giảm mặt đường tròn tại F (F không giống E), con đường trực tiếp AF cắt MO trên N, H là giao điểm của MO và AB.

Bạn đang xem: Cho đường tròn tâm o bán kính r

1) Chứng minh: Tđọng giác MAOB nội tiếp mặt đường tròn.

2) Chứng minh: MN2 = NF.NA vả MN = NH.

Xem thêm: Doordash Food Delivery - Order Definition & Meaning

3) Chứng minh: (fracHB^2HF^2 - fracEFMF = 1).


*

1) Vì MA, MB là các tiếp tuyến của (O) trên A cùng B nên:

(widehat MAO = widehat MBO = 90^0)

Tđọng giác MAOB gồm (widehat MAO + widehat MBO = 180^0)

Mà nhì góc tại vị trí đối nhau.

Xem thêm: Chơi Web Game Bách Chiến Vô Song, Bách Chiến Vô Song

( Rightarrow )Tứ giác MAOB nội tiếp mặt đường tròn.

2) Ta có: (widehat M_1 = widehat E_1)(so le trong, AE // MO) cùng (widehat A_1 = widehat E_1left( = frac12sdAF ight))

( Rightarrow widehat M_1 = widehat A_1)

(Delta NMF) và (Delta NAM) có: (widehat MNA) chung; (widehat M_1 = widehat A_1)

( Rightarrow Delta NMF) đồng dạng(Delta NAM) (g.g)

( Rightarrow fracNMNA = fracNFNM Rightarrow NM^2 = NF.NA)

Có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến đường cắt nhau) và OA = OB = R

( Rightarrow ) MO là đường trung trực của AB

( Rightarrow AH ot MO) và HA = HB

(Delta MAF) với (Delta MEA) có: (widehat AME m ) chung; (widehat A_1 = widehat E_1)

( Rightarrow Delta MAF) đồng dạng (Delta MEA) (g.g)

( Rightarrow fracMAME = fracMFMA Rightarrow MA^2 = MF.ME)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO, có: MA2 = MH.MO

Do đó: ME.MF = MH.MO (Rightarrow fracMEMH = fracMOMF)

( Rightarrow Delta MFH) đồng dạng (Delta MOE) (c.g.c)

( Rightarrow widehat H_1 = widehat E_2)

Vì (widehat BAE)là góc vuông nội tiếp (O) nên E, O, B trực tiếp hàng

(eginarraylRightarrow widehat E_2 = widehat A_2 m left( m = frac12sd EB ight)\Rightarrow widehat H_1 = widehat A_2\Rightarrow widehat N_1 + widehat H_1 = widehat N_1 + widehat A_2 = 90^0\Rightarrow HF ot NAendarray)

Áp dụng hệ thức lượng vào vuông NHA, có: NH2 = NF.NA

( Rightarrow NM^2 = NH^2 Rightarrow NM = NH)

3)Áp dụng hệ thức lượng vào vuông NHA, có: HA2 = FA.NA cùng HF2= FA.FN

Mà HA = HB

( Rightarrow fracHB^2HF^2 = fracHA^2HF^2 = fracFA.NAFA.FN = fracNANF)

Vì AE // MN bắt buộc (fracEFMF = fracFANF)(hệ quả của định lí Ta-lét)

( Rightarrow fracHB^2HF^2 - fracEFMF = fracNANF - fracFANF = fracNFNF = 1)